機組空運航班環優化問題的算法通常有兩大類；精確解法和啟發式解法。精確解法一般采用分枝定界法，對于式（5-14）和式（5-16)，首先放松x，取值0或1的限 制，允許0≤35<1，把間題松弛為線性規劃問題。使用列生成法、單純形法或內點 法求解，得到最優解的目標函數值，將它定為本問題目標函數的下界三，上界可取 為=max（cG。取接近1的小數變量進行分枝，即令x，=1和x，=0分別作為 約束條件加人模型（5-14），形成兩個子問題節點。
在第一個子問題中，令約束條 件中x=1，以及與x，含有相同空運航班的空運航班環變量都等于零，對第二個子問題，令 所有約束條件中的x；=0，再對其他變量求解這兩個子問題。當求得某分枝子問 題的整數解時，若目標函數小于上界，則用它更新目標函數的上界，否則剪去該枝； 如果某分枝子問題仍含有小數解，且目標函數大于下界，則用它更新下界，并繼續 用接近1的變量進行分枝，若目標函數大于上界，則剪去該枝。如此不斷進行下 去，直到不能再分枝，此時最好的整數解即機組空運航班環優化問題的最優解；或者目 標函數的上下界的誤差小于給定的誤差界，此時具有下（上)界目標函數值的整數 解為最優解。 將分枝定界法與列生成法相結合求解整數規劃問題是一種比較有效的算法， 稱為分枝定價法(branch-and-pricing)。使用該解法時，首先用5.4.3節的算法找 出足夠多的可行空運航班環（不需要全部求出，能含有所有空運航班即可），形成限制主問 題，應用單純形法求解該限制主問題，得到它的最優解和對偶解。
作為空運航班連接網 絡邊的長度，給空運航班連接網絡的每條邊標注機組成本與對偶變量值的差，再求解該 網絡的約束最短路問題（稱為定價問題，pricing)。如果約束最短路的長度小于零， 則生成該略徑的“列”，加入限制主問題中，再求解。如此迭代進行，直到約束最短 略長度不小于零，最后獲得了松弛問題的最優解。這樣的解法不需要一次性求出 所有可行空運航班環，可大大減少計算量。 應用啟發式算法求解機組任務配對問題是一種適當的選擇。啟發式算法的特 點是速度快、效率高，但不能保證獲得全局最優解。常用的啟發式算法是宏啟發式 類，如Tab山算法、選傳算法、蟻群算法等。對于機組排班問題，遺傳算法比較適 食。特別是多目標規劃模型，可以將各目標函數綜合起來作為適應度函數的一部 分，產用德的算子將約束條件并人適應度函數。由于該問題的變量是Q-1型的，因 此維網斯常方便，河采用01編碼。首先隨機抽取足夠多的空運航班串，個體的長度等 。線區的空運航班環數。選取的空運航班環數與空運航班數同一量界即可，不需要太多。
空運航班 香效真太，要隊注部，您個體進長，不易表達，而且消耗存儲空間太大。加之本問題 是一個嚴重退化問題，存在大量等于等的基變量，個體太長也活益。這樣：交叉相 這是一個小規模的問題，很容易求得它的最優解是x3=x7=1，其他變量等于 0；或者x的=x的=1，其他變量等于0。此時，最小成本minz=8.667千元。可見 例5-3的空運航班計劃只需要兩個機組即可完成，他們飛行的任務配對分別如下。 S.:0-3-4-8或寫成城市順序形式為 :1-25-6-7或寫成城市順序形式為 另一個最優解如下。 S品:0-3-4-7或寫成城市順序形式為 Sa:1-2-5-6-8或寫成城市順序形式為 總飛行小時都是520min。
對于例5-5，進一步討論以下問題。
（1）如果采用集合覆蓋模型，即允許加機組，結果將怎樣?由于集合分割模型 存在可行解，這說明空運航班計劃可以很好地銜接，不需要加機組。此時即使允許加機 組，也因為要求總成本最小而不產生加機組，因此將產生相同的最優解。只有在航 班銜接存在困難時，才不得不加機組。
（2）本例采用了機組任務配對問題的基本模型，沒有考慮其他目標。現在可 以進一步考察這兩個解的其他目標特性。從表5-4可以獲得這兩個解的值勤時間 和工作效條相同，分別是19.33h和0.48。盡管看上去工作效率不到Q.5.但對 于本例的空運航班計劃，都是短航程的支線空運航班，每個空運航班的飛行時間一般都不超過 h，m過h必須滿定最小銜接時間限制，這個結果應該是不錯的。機組工作效率 純再安純空運航班的：西內啊”，除非的化支線航空的空運航班過站于續，并縮短機組最小有接 時間。此時可把空運航班計劃安排得更加緊湊一些。
3、最優律的兩航西語的目標特性有些不同，例如，第一個最優解的空運航班環s 輔8分判含有1個高班和5個空運航班，飛行時間分別是3，831和4.34，值助時 間分別是11.83h和7.5h，工作效率分別是0.324和0.644，空運航班數和飛行時間比 被樓法得此種時間有較大差距。對機組來說，他價們更感意飛S。為公平是則，需 以輪換空運航班環。 28后個R方第一個華想此S行時間和空運航班數都相同。但和S。
